초입방체
초입방체는 n차원으로 확장된 다포체를 말한다. 우리 눈에도 보이지 않을 뿐더러, 상상하기도 어려운 4차원을 상상할 수 있는 방법에 대해서 배웠다. 우리가 1차원에서 평행한 방향으로 움직이는 2차원 선분을 바라본다면 그저 1개의 점으로 보일 것이다. 2차원에서 3차원 구가 평행하게 움직인다고 상상해보면 어떤 벽면을 구가 뚫고 지나가면서 그 단면에서는 처음에는 점에서 점점 더 커지다가 다시 점으로 작아지는 원을 관찰할 수 있을 것이다. 같은 원리로 3차원에서 4차원 초입방체를 바라본다면 3차원의 도형이 튀어나오는 모양일 것이다. 이를 그림으로 표현하면 아래와 같다.
아름다운 사실 - 원뿔 : 구 : 원기둥의 부피비는 1:2:3이다.
아르키메데스의 무덤에는 이 그림이 표현되어있다.
그래프 이론: 채색 문제
이 문제는 수학적 모델링을 설명하는 대표적인 문제이다. 일반인들에게 익숙한 모든 지형들을 연결하기 위해 지어야하는 최소의 다리 개수를 구하는 문제가 대표적이다. 이 문제의 또다른 버전이 평면에서의 유한개의 도형에 인접하는 도형끼리는 다른 색으로 칠해야할 때, 필요한 색의 최소 개수는 4개라는 채색수 문제이다.
채색수 문제를 그래프(도형)의 꼭지점으로 수학적으로 모델링하여 표현할 수 있다. 일반적으로 그래프 G의 꼭지점을 x개 이하의 색으로 칠하는 방법의 수를 그래프 G의 채색 다항식이라고 한다. 이는 P(G, x)로 표현한다. 만약 사면체가 있다고 가정한다면, 꼭지점 1개에 칠할 수 있는 색의 수는 x개, 인접한 꼭지점에는 x-1개, 다른 꼭지점에는 x-2개, 마지막 꼭지점에는 x-3개로 색칠할 수 있을 것이다. 따라서 사면체의 채색다항식은 P(G,x) = x(x-1)(x-2)(x-3)이다. 3가지 색으로 칠할 수 있는 방법은 x=3일때 이므로 0가지, 4가지 색으로 칠할 수 있는 방법의 수는 4 x 3 x 2 x 1 = 24 가지이다.
합동과 닮음
두 도형이 길이 변화는 없이 회전만 해서 완전히 포개어 진다면 합동이라고 한다. 합동이면서 모든 변의 길이를 같은 비율로 늘리거나 줄였을 때 두 도형이 같아진다면 그 관계를 닮음이라고 한다.
남아프리카의 소나 놀이: 최대공약수로 점 감싸기
남아프리카 앙골라의 소나 놀이(sona pattern)는 점을 찍어놓고 한 붓 그리기로 점의 귀퉁이들을 90도씩 감싸면서 그림을 완성해가는 게임이다. 아래 예시 그림은 소나 게임을 통해 완성된 표범 그림이다.
한 붓 그리기로 완성해야되기 때문에, 점들의 가로 x 세로 배치 수에 따라 닫힌 선의 최소 개수가 정해진다. 예를 들어 아래 첫 번째 그림은 3 x 6 행렬이며, 모든 점을 감싸기 위한 최소의 닫힌선은 3개이다. 그리고 여기에는 특정한 규칙이 있다. 책에서는 2 x 2로 시작하여 2 x 3, 2 x 4 등 여러 가지 경우로 나눠서 모두 정리한다. 결론은 행과 열의 숫자의 최대공약수만큼 닫힌선이 그려진다는 결론에 이른다. 어려워보이고 마치 패턴이 없는 것 같은 문제도 차근차근 생각해보면 규칙을 발견할 수도 있다.
프랙탈(fractal)
자기 닮음의 모양이 반복되는 구조를 프랙탈이라고한다. 가장 최초의 프랙탈 구조는 삼각형을 계속해서 확장해나가는 구조이다. 각 삼각형의 변을 3등분하고, 중간 부분은 제거한 뒤 제거된 부분을 한 변으로 하는 또 다른 삼각형들 그려낸다. 이 작업을 계속해서 반복하면 프랙탈 구조를 만들 수 있다.
번개나 리아스식 해안 등 실제 물리 세계로 이런 프랙탈 구조로 이루어진 경우가 많다. 줄기에서 뻗어가는 나무부터 우주의 형성원리까지 프랙탈 구조를 매우 닮아있다.
친화수, 완전수, 부족수, 과잉수
220과 284는 친화수이다. 220의 진약수(본 수를 제외한 약수들) 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110을 모두 더하면 합이 284가 되고, 284의 진약수 1, 2, 4, 71, 142를 모두 더하면 220이 된다. 피타고라스는 친구란 220과 284와 같은 관계라고 했다. ㅎㅎ
6은 완전 수이다. 1 + 2 + 3 = 6이므로 6의 진약수들의 합은 6과 같기 때문이다. 최초 6 이후에 찾아진 완전수는 28이며, 이 때문에 옛날 사람들은 신이 6일만에 세상을 창조했다고 믿은 사실과 달이 지구 둘레를 28일마다 회전하는 것에 완전수를 비유하여 생각했다고 한다.
15의 진약수는 1, 3, 5이며 합이 9라서 15보다 부족하므로 부족수라고 한다. 12의 진약수는 1, 2, 3, 4, 6이고 합이 16이므로 과잉수라고 한다.
구골과 구글
억, 조, 경... 숫자를 세는 현재 가장 큰 단위는 구골(Googol)이며 10의 100승이다. 번외로 구골플렉스(googolplex)는 10의 10승의 100승이다. 구골 정도만되도 우주의 모든 원자수보다도 더 많은 아주 큰 수이다. 검색엔진 구글(Google)도 세상의 모든 것을 표현한다는 의미로 구골로 지을려고했으나 오타로 구글이 된 것이라고 한다.
하나 둘 셋 다섯 열의 어원
하나는 해(sun), 둘은 달(moon), 셋은 년을 나타내는 세(歲)에서 비록되었으며 다섯은 손가락이 다 '닫혔다'에서, 열은 손가락이 모두 '열렸다'에서 비롯되었다고 한다.
제타함수: 암호화는 소수를 기반으로 한다.
두 소수 p = 47과 q = 73의 곱이 3,431인 것은 알기 쉽다. 그러나 3,431을 소인수 분해하여 두 소인수 47과 73을 구하는 것은 매우 어렵다. 각 수 p, q가 130자리의 큰 수가 되면 이 두 수의 곱을 통해 각 소수를 구하는데 컴퓨터로 약 1달이 걸리며 400자리라면 10억년이 걸린다. 이를 암호화에 응용한다. 아주 큰 소수 p, q를 비밀로 하고 그의 곱 n=pq를 공개하는 방식으로 공개키 암호화를 한다.
제타함수와 리만 가설에 대해 아주 간단하게만 알아본다.
제타함수
https://dowhati1.tistory.com/5
제타함수의 수학적의미는 소수를 구할 수 있는 방식을 수식으로 표현한 것이다.
제타함수는 아래 수식같은 꼴이다.
위 수식을 2^s로 나누면 아래와 같다.
원래 수식에 2^s로 나눈 식을 빼면 아래와 같아진다.
이번엔 3^s로 나누고 빼면, 아래와 같아진다.
그 다음은 5^s로 나누고 뺄 것이다. 그렇게 반복하여 좌변에 남는 -s승의 숫자들(2, 3, 5, ...)는 소수가 된다! 소수를 구할 수 있는 방정식이 도출되는 것이다.
리만가설
리만가설은 제타함수의 자명하지 않은 모든 근은 실수부가 1/2 이다. 라는 것이다. 즉 제타함수 = 0을 만족하는 s는 -2, -4, -6, -8 등의 실수가 있으며 이 근들을 자명한 근이라고 한다. 그런데 실수가 아닌 복소수로 확장하여 생각했을 때, 제타함수를 만족하는 복소수 집합을 자명하지 않은 근이라고 하며 이 근들의 실수부가 모두 1/2 이라고 하는 것이다!
만약 리만가설이 풀린다면 소수를 구할 수 있는 아주 빠른 풀이법을 얻게 된다. 그래서 현대까지의 암호학이 뒤집어질수도, 더 강화될 수도 있는 강한 가능성을 내포한다.
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